Что такое фракталы? Почему они столь сильно привлекают внимание своей красотой, и как их можно построить самостоятельно? На все эти вопросы уже дали ответ математики. Однако фрактальная геометрия – это наука, которой предстоит сделать еще немало открытий. Ведь фрактальные структуры окружают нас повсюду.
Что такое фракталы?
Формальное определение говорит нам о том, что фрактал – это множество, обладающее свойством самоподобия. То есть, это объект, который в точности или приближенно совпадает с частью себя самого. Если сказать проще, то целый объект имеет ту же форму, что и маленькая его часть.
Математические фракталы
Для лучшего понимания определения можно вспомнить простые примеры математических фракталов. Например, множество Кантора – это бесконечная череда отрезков, из которых изъяли среднюю часть. Понять, что это такое проще, посмотрев на рисунок. В итоге мы получаем множество, которое при масштабировании переходит само в себя.
Еще один пример – это лестница Кантора. Это функция, которая строится из одинаковых повторяющихся элементов. Она представляет собой непрерывный график. При масштабировании ее отдельных частей получается она сама целиком.
Треугольник Серпинского строится путем построения в каждом элементе новой аналогичной геометрической фигуры. В результате такого построения получается очень красивое множество, состоящее из самоподобных треугольников.
Простые фракталы вокруг нас
Фракталы – это не просто какая-то математическая абстракция. Они очень часто встречаются в реальности. Один из самых распространенных примеров этого явления – снежинка. Если понаблюдать за ее ростом, то можно проследить увлекательное зрелище.
Снег образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частичкам и замерзают. В результате этого появляются кристаллы льда. Они растут, образуя шестиконечные кристаллические формы. Шестигранные структуры получаются в результате того, что особенности строения молекулы воды позволяют образовывать при замерзании лишь углы в 60 и 120 градусов.
Кристалл воды, лежащий в основе снежинки, имеет в плоскости форму шестиугольника. На его вершинах осаждаются новые, такие же кристаллы. Далее процесс продолжается. И в результате получаются самые разнообразные формы снежинок. Кристаллизация всех шести лучей ледяной звездочки происходит в одно и то же время в практически одинаковых условиях. Поэтому особенности формы лучей получаются похожими. По описанию структуры снежинки не трудно догадаться, что мы имеем дело с фракталом.
Реальное применение
На протяжении длительного времени математики относились к фракталам несерьезно. Они считали их не более чем красивыми картинками. Но, пришло время, когда это явление нашло реальное применение.
В 90-х годах 20 столетия американский инженер Натан Коэн стал проводить опыты в области фрактальной геометрии. Он придал форму самоподобной ломано кривой обычной медной проволоке. Затем, он подключил ее к своему радиоприемнику в качестве антенны, и был сильно удивлен качеством ее работы.
Дальнейшие исследования показали, что фрактальное построение антенн позволяет значительно уменьшить размеры конструкции и расширить полосу рабочих частот. То есть фрактальные линии могут стать основой широкополосной антенны. Такие устройства с фрактальной формой способны охватывать весь спектр волнового диапазона.
Длина береговой линии
Толчок к развитию фрактальной геометрии дал случай с измерением береговой линии. Между Португалией и Испанией возник спор о протяженности границ. Португалия заявила, что длина ее сухопутной границы с соседом составляет 987 километров. Испания же определила тот же участок, как линию в 1214 километров. Такая большая погрешность появилась от того, что эти две страны измеряли протяженность границы отрезками разной длины.
Дело в том, что при приближении масштаба береговой линии становятся видны всевозможные выемки и вырезы, увеличивающие ее длину. В свою очередь, в каждой из таких выемок есть свои более мелкие выемки. Получается, что при уменьшении цены деления длина растет еще сильнее. Учет всех этих выемок приводит к тому, что длина береговой линии увеличивается. По сути, она стремиться к бесконечности.
Био фракталы
На самом деле с био фракталами мы сталкиваемся довольно часто. Присмотритесь внимательно к строению кораллов, цветной капусты, некоторых видов комнатных суккулентов, веткам деревьев. И даже наша кровеносная система – это ни что иное, как настоящий био фрактал.
В настоящее время фрактальная геометрия представляет собой очень большую область математики. По сути, ее смысл сводится к тому, что все вещи, которые нас окружают в природе, являются фракталами, то есть при детальном рассмотрении имеют повторяющуюся структуру. Но, это ученым еще предстоит доказать.
Рас уж многие интересуются Даной темой, то хотелось бы все таки по общаться с тем человеком который действительно хорошо разбирается в этом. Поскольку на всех показанных примерах рассмотрение фрактала идёт к макро частичному направлению, есть так же в точности на оборот явление. Мне очень хотелось бы по беседовать с квалифицированным специалистом!