Фракталы вокруг нас: определение, примеры, практическое применение

фракталы

Что такое фракталы? Почему они столь сильно привлекают внимание своей красотой, и как их можно построить самостоятельно? На все эти вопросы уже дали ответ математики. Однако фрактальная геометрия – это наука, которой предстоит сделать еще немало открытий. Ведь фрактальные структуры окружают нас повсюду.

Что такое фракталы?

Формальное определение говорит нам о том, что фрактал – это множество, обладающее свойством самоподобия. То есть, это объект, который в точности или приближенно совпадает с частью себя самого. Если сказать проще, то целый объект имеет ту же форму, что и маленькая его часть.

Математические фракталы

Для лучшего понимания определения можно вспомнить простые примеры математических фракталов. Например, множество Кантора – это бесконечная череда отрезков, из которых изъяли среднюю часть. Понять, что это такое проще, посмотрев на рисунок. В итоге мы получаем множество, которое при масштабировании переходит само в себя.

фракталы

Еще один пример – это лестница Кантора. Это функция, которая строится из одинаковых повторяющихся элементов. Она представляет собой непрерывный график. При масштабировании ее отдельных частей получается она сама целиком.

фракталы

Треугольник Серпинского строится путем построения в каждом элементе новой аналогичной геометрической фигуры. В результате такого построения получается очень красивое множество, состоящее из самоподобных треугольников.

Простые фракталы вокруг нас

Фракталы – это не просто какая-то математическая абстракция. Они очень часто встречаются в реальности. Один из самых распространенных примеров этого явления – снежинка. Если понаблюдать за ее ростом, то можно проследить увлекательное зрелище.

Снег образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частичкам и замерзают. В результате этого появляются кристаллы льда. Они растут, образуя шестиконечные кристаллические формы. Шестигранные структуры получаются в результате того, что особенности строения молекулы воды позволяют образовывать при замерзании лишь углы в 60 и 120 градусов.

фракталы

Кристалл воды, лежащий в основе снежинки, имеет в плоскости форму шестиугольника. На его вершинах осаждаются новые, такие же кристаллы. Далее процесс продолжается. И в результате получаются самые разнообразные формы снежинок. Кристаллизация всех шести лучей ледяной звездочки происходит в одно и то же время в практически одинаковых условиях. Поэтому особенности формы лучей получаются похожими. По описанию структуры снежинки не трудно догадаться, что мы имеем дело с фракталом.

Реальное применение

На протяжении длительного времени математики относились к фракталам несерьезно. Они считали их не более чем красивыми картинками. Но, пришло время, когда это явление нашло реальное применение.

В 90-х годах 20 столетия американский инженер Натан Коэн стал проводить опыты в области фрактальной геометрии. Он придал форму самоподобной ломано кривой обычной медной проволоке. Затем, он подключил ее к своему радиоприемнику в качестве антенны, и был сильно удивлен качеством ее работы.

Дальнейшие исследования показали, что фрактальное построение антенн позволяет значительно уменьшить размеры конструкции и расширить полосу рабочих частот. То есть фрактальные линии могут стать основой широкополосной антенны. Такие устройства с фрактальной формой способны охватывать весь спектр волнового диапазона.

Длина береговой линии

Толчок к развитию фрактальной геометрии дал случай с измерением береговой линии. Между Португалией и Испанией возник спор о протяженности границ. Португалия заявила, что длина ее сухопутной границы с соседом составляет 987 километров. Испания же определила тот же участок, как линию в 1214 километров. Такая большая погрешность появилась от того, что эти две страны измеряли протяженность границы отрезками разной длины.

Дело в том, что при приближении масштаба береговой линии становятся видны всевозможные выемки и вырезы, увеличивающие ее длину. В свою очередь, в каждой из таких выемок есть свои более мелкие выемки. Получается, что при уменьшении цены деления длина растет еще сильнее. Учет всех этих выемок приводит к тому, что длина береговой линии увеличивается. По сути, она стремиться к бесконечности.

Био фракталы

На самом деле с био фракталами мы сталкиваемся довольно часто. Присмотритесь внимательно к строению кораллов, цветной капусты, некоторых видов комнатных суккулентов, веткам деревьев. И даже наша кровеносная система – это ни что иное, как настоящий био фрактал.

В настоящее время фрактальная геометрия представляет собой очень большую область математики. По сути, ее смысл сводится к тому, что все вещи, которые нас окружают в природе, являются фракталами, то есть при детальном рассмотрении имеют повторяющуюся структуру. Но, это ученым еще предстоит доказать.

Оцените статью
Добавить комментарий